Les Hypercomplexes

Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels. Ils forment des algèbres réelles dont la dimension est une puissance de deux :

-quaternions : quatre dimensions

-octonions : huit dimensions

-sédénions : seize dimensions

On peut créer une infinité d'algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l'algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter: À chaque rang les dimensions des nombres sont doublées ; À chaque rang une propriété est perdue.

n	2n	nom	limite
0	1	réels	-
1	2	complexes	perte de la comparaison
2	4	quaternions	perte de la commutativité
3	8	octonions	perte de l'associativité
4	16	sédénions	perte de l'alternativité

Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro

(x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0),

ce qui implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.