Les 23 problèmes de Hilbert

Publié le 23 janvier 2006 par Nicolas

Les 23 problèmes d'Hilbert

1a	Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ? Démontrer l'hypothèse du continu. Existe-t-il un nombre transfini entre l'ensemble du dénombrable (nombres rationnels) et les nombres du continu (nombres réels)?	Non, tout dépend de la version particulière choisie pour la théorie des ensembles	Gödel, 1940. et Cohen
1b	Peut-on considérer l'ensemble du continu comme un ensemble bien ordonné? L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné ? Axiome du choix de Zermerlo: démontré comme étant indépendant de tous les autres axiomes de la théorie des ensembles	Oui, si l'on admet l'axiome du choix, lequel est équivalent au problème cité	Cohen, 1963. Mais, de fait, il semble qu'il n'y ait pas de solution universelle à cette question
2	Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ? Étudier l'indépendance et la non contradiction des axiomes de l'arithmétique	Non, selon le théorème de l'incomplétude de Gödel Tout système formel capable de formuler sa propre consistance, peut aussi prouver son inconsistance	Gödel, 1931.
3	La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ? Donner 2 tétraèdres qui ne puissent pas être décomposés en tétraèdres congruents directement adjoints	Non,	Dehn (élève de Hilbert), 1902. et W.F. Kagon en 1903, de manière indépendante
4	Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite ? Trouver les géométries dont les axiomes sont les plus proches de ceux de la géométrie euclidienne si les axiomes d'ordre et d'incidence sont retenus, l'axiome de congruence affaiblit, l'équivalent du postulat sur les parallèles supprimé	Résolu	George Hamel (1877-1954).
5	Existe-t-il des groupes de Lie continus ? Sous quelles conditions un groupe topologique peut-il être muni d'une structure de Lie Peut-on éviter l'hypothèse de la différentiabilité des fonctions définissant une transformation continue Généralisation de l'équation fonctionnelle de Cauchy	Résolution partielle	1930: John von Neumann pour les groupes bicompacts 1952: Andrew Glean pour les groupes localement compacts 1952: pour le cas abélien 1953: Montgomery et Zipin, compléments combinés aux résultats de Yamabe
6	Peut-on axiomatiser la physique ?	Cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).
7	Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres. 2^Ö² , e^p	Résolu	1934: Gelfond et complété par Schneider et Baker. 1996: Courant et Robins
8	Prouver la conjecture de Riemann. Étudier la distribution des nombres premiers	Partielle	Hardy, Weil
9	Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques Construire des généralisations du théorème de la réciprocité de la théorie des nombres Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique).	Résolu	Artin, T. Takagi
10	Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes ?	Non après avoir démontré que n = F2m est diophantienne (F2m étant un nombre de Fibonacci)	Julia Robinson, Marin Davis & Yuri Matijasevic (1970).
11	Étudier les formes quadratiques sur les corps de nombres algébriques Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques. Étendre les résultats obtenus sur les formes quadratiques aux formes algébriques entières arbitraires	Résolu	Par Siegel.
12	Construction de corps de classes des corps de nombres algébriques Généralisation d'un théorème de Kronecker. Étendre le théorème de Kronecker à des formes algébriques arbitraires en construisant explicitement des formes de la classe de Hilbert en utilisant des valeurs particulières. Construction des fonctions holomorphiques de plusieurs variables qui ont des propriétés analogues aux fonctions exponentielles et aux fonctions elliptiques modulaires	Partiellement résolu Problème ardu de la théorie des nombres conduisant à la théorie des corps de classes et à la multiplication complexe.	Par T. Takagi, H. Hasse. 1995: Holzapfel
13	Montrer l'impossibilité de la résolution de l'équation générale de degré 7 par la décomposition de fonctions continues de 2 variables Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen des fonction de deux variables). Par exemple, la fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = (g(x,y),k(y,z))	Non	1954: Kolmogorov et Arnold (son élève)
14	Étude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait. Montrer l'aspect fini de systèmes de fonctions intégrales relatives Détermination de certains anneaux d'invariants	Résolu négativement	1959: M. Nagata
15	Établir le fondement de la géométrie algébrique Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie)?	Résolu Oui	1945: Bell
16	Développer une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces). La conjecture de Shimura-Taniyama postule simplement cette liaison	Partiellement résolu	1978: Gudkov et Utkin 1995: Ilyashenko et Yakovenko
17	Déterminer les fonctions rationnelles à coefficients réels, ne prenant que des valeurs positives, et sommes de carrés de fonctions rationnelles Problème sur la topologie des courbes algébriques et des surfaces. Une fonction rationnelle positive sur Rⁿ peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?	Résolu Oui	1927: Artin
18	Construire des espaces avec des polyèdres congruents Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.	Résolu	1910: Bieberbach
19	Rechercher si les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont nécessairement analytiques.	Résolu positivement	1929: S. N. Bernstein et Tibor Rado, complété par I.G. Petrovski, 1939.
20	Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).	Partielle
21	Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données.	Résolu par la négative Des cas particuliers ont été résolus	1957: Helmut Rörl 1989: B. Bolibruch, pour la réponse négative
22	Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes).	Résolu	1907: Poincaré & P. Koebe
23	Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations. Existe-t-il une procédure automatique qui résolve tous les problèmes de mathématiques les uns après les autres ?	Partielle	Voir Machine de Turing et décidabilité

Établir le fondement de la géométrie algébrique

Construire des espaces avec des polyèdres congruents